ライプニッツ級*1 - cactusman日誌

証明というか導出を。

$y=\tan(x)$
xはラジアン。
$x=\arctan(y)$
arctanはtanの逆関数という意味。
arctanの微分関数を求めには
$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
という逆関数の微分定理を使う。tanの微分は
$\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
から
$\frac{d}{dy}\arctan(y)=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac{1}{1+\tan^2(x)}=\frac{1}{1+y^2}$
無限等比級数の和の公式を用いて右辺を級数展開する。
$\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots \quad (|r|<1)$
$r=-x^2$ とすると
$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$
両辺を区間[0,x]で積分すると左辺はarctan、右辺は
$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$
とあらわせるので、まとめると
$\arctan(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \quad (|x|<1)$
という公式が導ける。x=1を代入すれば
$\arctan(1)=\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$
となる。